La distance et la géométrie de l'ensemble des courbes et l'approximation des trajectoires optimales

Discipline

Mathematiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Ensemble des courbes paramétrées, Courbes de Bézier, Courbes de Bézier cubiques par morceaux, Distance, Norme, Forme normale, Normalisation, Équations différentielles autonomes, Contrôle des équations différentielles autonome, Trajectoire optimale, Orbite

Mots-clés

Courbes algébriques,

Courbes cubiques,

Bézier, Surfaces de,

Géométrie différentielle,

Équations différentielles,

Trajectoires spatiales,

Optimisation mathématique

Les problèmes d'optimisation sur l'ensemble des courbes apparaissent dans de nombreux domaines d'applications industrielles comme la robotique, la planification de mouvements et l'aérospatiale. Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des courbes et proposons une méthode générale pour problèmes d'optimisation de trajectoires, équations différentielles ordinaires autonomes et commande des équations différentielles ordinaires autonomes. Dans la première partie, nous fournissons une normalisation des courbes paramétrées sous l'action des difféomorphismes croissants et nous utilisons cette normalisation pour définir une distance entre les courbes paramétrées. Nous étudions ensuite la topologie et la structure différentielle sur l'ensemble des courbes. Dans la seconde partie nous définissons une norme sur l'espace des courbes de Bézier cubique par morceaux et nous estimons quelques constantes d'équivalence pour cette norme et certaines normes classiques. Dans la dernière partie de cette thèse est proposée une méthode générale pour approximer des trajectoires optimales en utilisant des courbes de Bézier cubiques par morceaux. Cette idée est appliquée aux équations différentielles autonomes et au contrôle des équations différentielles autonomes.