Contributions en théorie du contrôle échantillonné optimal avec contraintes d’état et données non lisses
(Document en Anglais)
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- Auteur
- Dhar Gaurav
- Date de soutenance
- 17-11-2020
- Directeur(s) de thèse
- Adly Samir - Bourdin Loïc
- Président du jury
- Bayen Térence
- Rapporteurs
- Bettiol Piernicola
- Membres du jury
- Adly Samir - Bourdin Loïc - Cots Olivier - Silva Francisco
- Laboratoire
- XLIM - UMR CNRS 7252
- Ecole doctorale
- École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
- Etablissement de soutenance
- Limoges
- Discipline
- Mathematiques et applications
- Classification
- Mathématiques
- Mots-clés libres
- Contrôle optimal, Contrôle échantillonné, Principe du maximum de Pontryagin, Principe variation-nel d’Ekeland, Temps d’échantillonnage optimaux, Continuité de la fonction Hamiltonienne, Contraintes d’état, Problèmes de Cauchy-Stieltjes, Analyse non lisse, Méthodes numériques indirectes, Méthodes de tir
- Mots-clés
- Commande, Théorie de la,
- Principes variationnels,
- Systèmes hamiltoniens,
- Optimisation mathématique
L’objectif de cette thèse est d’obtenir des conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre sous la forme d’un principe du maximum de Pontryagin (en abrégé PMP) pour des problèmes de contrôle échantillonné optimal avec temps d’échantillonnage libres, contraintes d’état et coûts de Mayer non lisses. Le Chapitre 1 est consacré aux notations et espaces fonctionnels utiles pour décrire les problèmes de contrôle échantillonné optimal qui seront rencontrés dans le manuscrit. Dans le Chapitre 2, nous obtenons une condition nécessaire d’optimalité lorsque les temps d’échantillonnage peuvent être choisis librement qui est appelée condition de continuité de la fonction Hamiltonienne. Rappelons que la fonction Hamiltonienne qui décrit l’évolution du Hamiltonien avec les valeurs de la trajectoire optimale et du contrôle échantillonné optimal est, en général, discontinue quand les temps d’échantillonnage sont fixés. Notre résultat démontre que la continuité de la fonction Hamiltonienne est retrouvée pour les contrôles échantillonnés optimaux avec temps d’échantillonnage optimaux. Pour terminer, nous implémentons une méthode de tir basée sur la condition de continuité de la fonction Hamiltonienne pour déterminer numériquement les temps d’échantillonnage optimaux dans deux exemples linéaires-quadratiques. Dans le Chapitre 3, nous obtenons un PMP pour des problèmes de contrôle échantillonné optimal avec contraintes d’état. Nous obtenons que les vecteurs adjoints sont solutions de problèmes de Cauchy-Stieltjes définis par des mesures de Borel associées à des fonctions à variation bornée. De plus, nous trouvons que, sous quelques hypothèses assez générales, toute trajectoire admissible (associée à un contrôle échantillonné) rebondit nécessairement sur les contraintes d’état. Nous exploitons ce phénomène de trajectoires rebondissantes pour implémenter une méthode indirecte qu’on utilise pour résoudre numériquement quelques exemples simples de problèmes de contrôle échantillonné optimal avec contraintes d’état. Dans le Chapitre 4, nous obtenons un PMP pour des problèmes de contrôle échantillonné optimal avec coûts de Mayer non lisses. Notre preuve est uniquement basée sur les outils de l’analyse non lisse et n’utilise aucune technique de régularisation. Nous déterminons l’existence d’une sélection dans le sous-différentiel de la fonction de coût de Mayer non lisse en établissant un résultat plus général sur l’existence d’un vecteur séparant universel pour les ensembles convexes compacts. En appliquant ce résultat, appelé théorème de vecteur séparant universel, nous obtenons un PMP pour des problèmes de contrôle échantillonné optimal avec coûts de Mayer non lisses où la condition de transversalité sur le vecteur adjoint est donnée par une inclusion dans le sous-différentiel de la fonction de coût de Mayer non lisse. Pour obtenir les conditions d’optimalité sous la forme d’un PMP, nous utilisons différentes techniques de perturbation sur le contrôle optimal. Pour traiter les contraintes d’état, nous pénalisons la distance à ces contraintes dans une fonctionnelle et nous appliquons le principe variationnel d’Ekeland. En particulier, nous invoquons des résultats sur la renormalisation des espaces de Banach pour assurer la régularité de la fonction distance dans les contextes de dimension infinie. Enfin nous utilisons des notions standards de l’analyse non lisse, telles que les dérivées directionnelles généralisées de Clarke et le sous-différentiel de Clarke, pour étudier les problèmes de contrôle échantillonné optimal avec coûts de Mayer non lisses.
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Pour citer cette thèse
Dhar Gaurav, Contributions en théorie du contrôle échantillonné optimal avec contraintes d’état et données non lisses, thèse de doctorat, Limoges, Université de Limoges, 2020. Disponible sur https://aurore.unilim.fr/ori-oai-search/notice/view/2020LIMO0050