Algorithmes symboliques pour l'étude et la résolution de systèmes d'équations fonctionnelles linéaires

Discipline

Mathématiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Calcul formel, Équations fonctionnelles, Systèmes pseudo-linéaires, Formes simples, Solutions rationnelles, Implémentation

Mots-clés

Algorithmes,

Calcul formel,

Équations fonctionnelles

Cette thèse porte sur le développement d’algorithmes symboliques en calcul formel. Nous étudions des systèmes d’équations pseudo-linéaires : une grande classe de systèmes fonctionnels linéaires comprenant les systèmes différentiels, différences et q-différences. La thèse se compose de trois grandes parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l’analyse locale d’un système pseudo-linéaire au voisinage d’une singularité. Nous développons d’abord un algorithme direct pour le calcul de formes simples de systèmes pseudo-linéaires. Alors que des algorithmes directs pour le calcul de formes simples ont déjà été proposés pour les systèmes différentiels et différences, aucun unificateur pour les systèmes pseudo-linéaires n’était connu avant nos travaux. Ensuite, nous montrons comment la réduction à une forme simple peut être utilisée pour calculer efficacement des données locales pour des systèmes pseudo-linéaires. La deuxième partie traite du calcul des solutions de forme fermée. Tout d’abord, nous présentons un algorithme générique et efficace pour le calcul de solutions rationnelles de systèmes pseudo-linéaires du premier ordre. Ensuite, nous développons deux nouveaux algorithmes récursifs pour le calcul de solutions rationnelles et hypergéométriques de systèmes pseudo-linéaires avec un nombre arbitraire de variables. Une contribution importante de cette thèse se pose dans l’implémentation de tous les algorithmes dans Maple dans le cadre de notre package PseudoLinearSystems disponible gratuitement. Dans la dernière partie de la thèse, nous proposons une démonstration de plusieurs procédures contenues dans le package.