Calcul effectif de la topologie de courbes et surfaces algébriques réelles

Discipline

Mathématiques et Applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

algorithmes, algèbre, courbes algébriques

Mots-clés

Calcul adaptatif - Thèses et écrits académiques,

Applications analytiques - Thèses et écrits académiques,

Topologie algébrique - Thèses et écrits académiques,

Courbes sur les surfaces - Thèses et écrits académiques,

Courbes algébriques - Thèses et écrits académiques

Ce travail de thèse relève du registre de l'algorithmique de courbes et surfaces algébriques réelles. Dans le domaine de la représentation de formes nous avons développé trois algorithmes. Le premier est un algorithme symbolique-numérique certifié, fortement basé sur les propriétés des sous-résultants, et permettant le calcul de la topologie d'une courbe algébrique plane avec la meilleure complexité connue. Le deuxième algorithme traite le problème du calcul de la topologie d'une courbe algébrique spatiale définie comme intersection de deux surfaces algébriques implicites. Pour construire cet algorithme, nous avons introduit la notion de courbe spatiale en position pseudo-générique par rapport à un plan. Cette approche conduit à un algorithme symbolique-numérique certifié disposant de la meilleure complexité connue pour traiter ce problème. Le troisième est un algorithme de maillage de surfaces implicites. C'est le premier algorithme certifié et implémenté qui résoud le problème du maillage isotopique de surfaces implicites singulières. Soulignons que ce travail rentre aussi dans le cadre des applications mathématiques puisqu'on peut, à partir d'une triangulation, calculer de nombreux invariants topologiques. Enfin dans un travail sur les arrangements pouvant se placer dans le cadre des problèmes de configurations spatiales, nous évoquons un algorithme permettant le calcul d'un tel arrangement.