Méthodes symboliques pour les systèmes différentiels linéaires à singularité irrégulière
(Document en Français)
- Thèse consultable sur internet, en texte intégral. Accéder au(x) document(s) :
- https://www.theses.fr/2019LIMO0065/abes
- https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02444014
- noembargohttps://aurore.unilim.fr/theses/nxfile/default/19b5a4f3-9be3-4243-9194-abaeafdfd94f/blobholder:0/2019LIMO0065.pdf
- Auteur
- Saadé Joelle
- Date de soutenance
- 05-11-2019
- Directeur(s) de thèse
- Barkatou Moulay Abdelfattah - Weil Jacques-Arthur
- Président du jury
- Chyzak Frédéric
- Rapporteurs
- Chyzak Frédéric - Caruso Xavier
- Membres du jury
- Barkatou Moulay Abdelfattah - Weil Jacques-Arthur - Pflügel Eckhard - Sanz Sánchez Fernando - Cluzeau Thomas
- Laboratoire
- XLIM - UMR CNRS 7252
- Ecole doctorale
- École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
- Etablissement de soutenance
- Limoges
- Discipline
- Mathematiques
- Classification
- Mathématiques
- Mots-clés libres
- Calcul formel, Algorithmes, Système différentiel, Singularités, Réduction formelle, Solutions formelles, Parties exponentielles, Eigenring, Décomposition, Factorisation, Réduction du rang de Poincaré
- Mots-clés
- Calcul formel,
- Équations différentielles linéaires,
- Algorithmes
Cette thèse est consacrée aux méthodes symboliques de résolution locale des systèmes différentiels linéaires à coefficients dans K = C((x)), le corps des séries de Laurent, sur un corps effectif C. Plus précisément, nous nous intéressons aux algorithmes effectifs de réduction formelle. Au cours de la réduction, nous sommes amenés à introduire des extensions algébriques du corps de coefficients K (extensions algébriques de C, ramifications de la variable x) afin d’obtenir une structure plus fine. Du point de vue algorithmique, il est préférable de retarder autant que possible l’introduction de ces extensions. Dans ce but, nous développons un nouvel algorithme de réduction formelle qui utilise l’anneau des endomorphismes du système, appelé « eigenring », afin de se ramener au cas d’un système indécomposable sur K. En utilisant la classification formelle donnée par Balser-Jurkat-Lutz, nous déduisons la structure de l’eigenring d’un système indécomposable. Ces résultats théoriques nous permettent de construire une décomposition sur le corps de base K qui sépare les différentes parties exponentielles du système et permet ainsi d’isoler dans des sous-systèmes, indécomposables sur K, les différentes extensions de corps qui peuvent apparaître afin de les traiter séparément. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à l’algorithme de Miyake pour la réduction formelle. Celle-ci est basée sur le calcul du poids et d’une suite de Volevic de la matrice de valuation du système. Nous donnons des interprétations en théorie de graphe et en algèbre tropicale du poids et suites de Volevic, et obtenons ainsi des méthodes de calculs efficaces sur le plan pratique, à l’aide de la programmation linéaire. Ceci complète une étape fondamentale dans l’algorithme de réduction de Miyake. Ces différents algorithmes sont implémentés sous forme de librairies pour le logiciel de calcul formel Maple. Enfin, nous présentons une discussion sur la performance de l’algorithme de réduction avec l’eigenring ainsi qu’une comparaison en terme de temps de calcul entre notre implémentation de l’algorithme de réduction de Miyake par la programmation linéaire et ceux de Barkatou et Pflügel.
- Type de contenu
- Text
- Format
Pour citer cette thèse
Saadé Joelle, Méthodes symboliques pour les systèmes différentiels linéaires à singularité irrégulière, thèse de doctorat, Limoges, Université de Limoges, 2019. Disponible sur https://aurore.unilim.fr/ori-oai-search/notice/view/2019LIMO0065