Les corps multi-quadratiques p-rationnels

Discipline

Mathematiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Corps de nombres p-rationnels, Corps (p, i )-réguliers, Représentations galoisiennes, Conjectures de AAC et de Mordell

Mots-clés

Corps quadratiques,

Extensions de corps (mathématiques),

Galois, Théorie de

Pour chaque nombre premier p, nous prouvons l’existence d’une infinité de corps quadratiques réels p-rationnels ainsi que l’existence d’un corps bi-quadratique réel et d’un corps bi-quadratique imaginaire p-rationnel. De plus pour p = 3, nous montrons l’existence d’une infinité de corps bi-quadratiques imaginaires 3-rationnels. Pour p > 5 et F un corps multi-quadratique réel p-rationnel tels que le noyau modéré de F est d’ordre premier à p, nous montrons l’existence d’une infinité d’extensions quadratiques imaginaires p-rationnelles de F. En utilisant une méthode récente développée par Greenberg, nous déduisons l’existence des extensions galoisiennes de Q dont les groupes de Galois sont isomorphes à des sous-groupes ouverts de GLn(Zp) pour n = 4 et n = 5 et au moins pour tout p ≤ 718.328.637. Finalement, nous donnons une nouvelle reformulation des conjectures de Ankeny-Artin-Chowla et de Mordell, en terme de la p-rationalité de Q(√p).