Systèmes dynamiques non-réguliers : Applications en optimisation et aux processus de rafles

Discipline

Mathematiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Processus de raffles, Problème de vibro-impact, Contrainte dépendante du temps, Contrainte de vitesse, Prox-régularité, Ensemble de sous-niveaux, Propriétés de type Lipschitz des multi-applications

Mots-clés

Systèmes dynamiques,

Programmation non convexe,

Inclusions différentielles,

Optimisation mathématique

Dans cette thèse, nous étudions quelques classes de systèmes dynamiques non-réguliers. Plus précisément, les processus de rafles perturbés, les processus de rafles avec contraintes de vitesse ainsi que les problèmes de vibro-impact sur un ensemble de contraintes non-convexe dépendant du temps. Le premier sujet porte sur l'existence et l'unicité de solutions pour les processus de rafles perturbés non-convexes. Dans le cadre adopté par Edmond et Thibault [Mathematical Programming 104 (2005), 347--373], nous étudions une classe de processus de rafles perturbés. Sous des hypothèses appropriées, nous obtenons deux théorèmes d'existence de solutions pour les processus de rafles perturbés, les ensembles de contraintes étant des ensembles de sous-niveaux prox-réguliers. Les résultats sont appliqués à l'analyse du comportement de certains procédés de rafles en mécanique unilatérale. Le deuxième sujet porte sur certaines classes de processus de rafles avec vitesse dans un ensemble en mouvement. En plus de l'existence et l'unicité de la solution pour le cas d'un ensemble de contraintes convexe en mouvement, des résultats sur l'existence de la solution et la multiplicité de la solution où l'ensemble de contraintes est une union finie d'ensembles convexes disjoints sont également obtenus. Notre outil principal est un théorème sur la sensibilité des solutions des inéquations variationnelles paramétriques. Outre l'exigence traditionnelle selon laquelle l'ensemble de contraintes se déplace continuellement dans le sens de la distance de Hausdorff, nous utilisons intensivement une nouvelle hypothèse de type Lipschitz des multi-applications à valeurs dans l'ensemble de contraintes. Les résultats obtenus sont comparés à ceux existants et analysés à l'aide de plusieurs exemples. De plus, certaines propriétés de solutions de processus de rafles convexe avec des contraintes de vitesse sont également étudiées. En effet, la sensibilité des solutions par rapport à la valeur initiale, la limitation, la fermeture et la convexité de l'ensemble de solutions sont discutées en détail. Le troisième sujet porte sur un problème de vibro-impact, qui est décrit sous la forme d'inclusion différentielle à mesure de second ordre. Grâce à une discrétisation de notre problème par l'algorithme de pas de temps, on construit une suite de solutions approchées qui converge vers une solution du problème considéré.