Analyse des dynamiques inertielles et algorithmes associés pour l’optimisation du premier ordre

Discipline

Mathematiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Algorithme de gradient proximal, Méthode inertielle, Amortissement piloté par le Hessien, Opérateur non potentiel, Opérateur cocoercif, Équation monotone structurée, Optimisation convexe, Algorithmes proximaux avec distance de Bregman

Mots-clés

Logique du premier ordre,

Optimisation mathématique,

Algorithmes d'approximation,

Opérateurs monotones,

Optimisation convexe

Cette thèse est divisée en deux grandes parties. La première est consacrée à l’étude d’une classe d’algorithmes du premier ordre visant à résoudre des équations monotones structurées impliquant la somme de deux opérateurs : un opérateur potentiel ∇f (le gradient d’une fonction convexe différentiable f ) et un autre non potentiel B (monotone et cocoercif). Le caractère bien posé et le comportement asymptotique des trajectoires des solution,s générées par la dynamique inertielle du second ordre impliquant ces deux opérateurs, sont analysés en détail. La discrétisation temporelle de ces dynamiques fournit des algorithmes de gradient proximal de type splitting ou décomposition. Leurs propriétés de convergence sont prouvées en utilisant l’analyse de Lyapunov. La seconde partie est dédiée à l’étude et à l’extension des algorithmes introduits par Nesterov dans le cas où f est relativement lisse. Une méthode, utilisant la distance de Bregman de la fonction à minimiser, est proposée. L’analyse de convergence des algorithmes associés est aussi étudiée et quelques simulations numériques sont proposées pour illustrer la partie théorique.