Des EDPs pour le mouvement de foule

Discipline

Mathématiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Existence de solution, Optimisation, Simulations numériques, Problème de Beckmann, Théorie des semigroupes

Mots-clés

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques - Foules,

Théorie du transport - Modèles mathématiques

Dans cette thèse, nous proposons un nouveau modèle de type Prédiction-Correction décrivant le mouvement de foule. Le modèle proposé est un modèle macroscopique de transport où la foule est représentée par la densité des individus. Dans la première partie de la thèse, la vitesse de transport est donnée par un champ de vecteur constante au cours du temps, orienté vers les sorties les plus proches. La congestion est gérée par un terme de second ordre non-linéaire de diffusion active uniquement sur les régions du domaine où la densité coïncide avec la densité maximale autorisé. Nous proposons une résolution numérique basée sur la méthode de splitting en deux étapes, transport (prédiction) et diffusion (correction). Pour le transport, nous utilisons un schéma volumes finis pour la discrétisation et la prédiction de la densité. Pour la correction, nous proposons un nouveau problème d'optimisation de type Beckmann qu'on résout en utilisant un algorithme Primal-Dual (Chamboll-Pock). Dans la deuxième partie de la thèse, nous proposons une amélioration du premier modèle (avec vitesse constante). Cette amélioration est basée sur le modèle de Hughes, où l'équation du transport est couplée avec une équation eikonal, permettant à chaque instant de calculer un champ de vitesse orienté vers les sorties les plus proches en évitant les régions à densité élevée. Nous réalisons également différents tests numériques pour l'évacuation d'une salle avec différentes géométries et conditions initiales.