Études mathématiques et numériques de la complémentarité aux valeurs propres et des problèmes d'accélération dans l'optimisation du premier ordre

Discipline

Mathématiques et applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

Problèmes de complémentarité, Méthodes des points intérieurs, Optimisation du premier ordre, Optimisation convexe, Algorithmes inertiels, Systèmes dynamiques

Mots-clés

Théorie spectrale (mathématiques),

Algorithmes optimaux,

Systèmes dynamiques,

Optimisation mathématique

Dans cette thèse, j’explore deux sujets clés. Premièrement, je m’intéresse à l’étude mathématique et numérique du problème de complémentarité des valeurs propres de Pareto et de sa contrepartie inverse. Notre approche utilise des méthodes de points intérieurs, complétées par une technique de lissage non paramétrique. L’efficacité des méthodologies proposées est soulignée par un ensemble d’expériences numériques. En mettant l’accent sur l’optimisation continue, nous adoptons une perspective de systèmes dynamiques. Plus précisément, nous étudions divers algorithmes inertiels à gradient proximal, discrétisés à partir d’un système dynamique inertiel non régulier comportant des éléments de frottement sec et d’amortissement piloté par le Hessien. En outre, nous examinons une équation d’évolution doublement non linéaire régie par deux potentiels, ainsi que l’accélération de sa convergence par l’application de techniques de mise à l’échelle temporelle et de calcul de la moyenne, ce qui se traduit par une dynamique inertielle comportant un frottement sec et un amortissement implicite induit par le hessien. Les tests numériques corroborent la performance supérieure des systèmes inertiels par rapport à leurs homologues du premier ordre, ce qui correspond aux résultats théoriques.