Cogèbre binomiale et calcul ombral des opérateurs différenciels

Discipline

Mathématiques et Applications

Classification

Mathématiques,

Technologie (Sciences appliquées)

Mots-clés libres

suites (mathématiques), algèbre, endomorphismes (mathématiques), calcul formel, équations différentielles, anneaux (algèbre)

Cette thèse se compose de deux parties dont les sujets sont étroitement liés. La première partie construit un calcul ombral des opérateurs différentiels. Ce nouveau calcul étend le calcul ombral classique dans deux directions : d'une part, on s'affranchit de toute hypothèse restrictive sur la caractéristique et le corps de base est remplacé par un anneau R, associatif, commutatif et unifère de caractéristique quelconque ; d'autre part, l'anneau des polynômes est remplacé par un anneau d'opérateurs différentiels formels construit à l'aide d'une dérivation δ de R. Lorsque la dérivation δ est nulle, l'anneau des opérateurs différentiels formels associé n'est autre que l'algèbre R[x], de sorte que notre exposé contient strictement le cas classique de Roman et Rota. Comme application de ce nouveau calcul, on obtient des identités différentielles et des formules pour la réversion des séries de Hurwitz formelles. Dans la deuxième partie, on détermine, dans le cas où l'anneau de base est un anneau réduit de caractéristique un nombre premier p, tous les endomorphismes continus de l'algèbre de Hurwitz HR, ou, ce qui est équivalent, les endomorphismes de la cogèbre binomiale univariée B1. On fait le lien avec d'autres méthodes permettant de construire des endomorphismes de B1. Ces méthodes, déjà présentes dans la littérature, ne permettent pas de déterminer tous les endomorphismes de B1, comme on le montre par des exemples concrets.