Algorithmique modulaire des équations différentielles linéaires

Discipline

Mathématiques et Applications

Classification

Mathématiques,

Technologie (Sciences appliquées)

Mots-clés libres

algorithmes, algèbre, calcul formel, équations différentielles

Mots-clés

Algorithmes - Thèses et écrits académiques,

Calcul formelCalcul formel -- Thèses et écrits académiques,

équations différentielles aux différences - Thèses et écrits académiques

Les méthodes modulaires conduisent à des algorithmes très efficaces dans de nombreux domaines en calcul formel et notamment dans celui des équations algébriques. Le but de cette thèse est de montrer comment ces techniques modulaires s'adaptent au cas différentiel et permettent de développer de nouveaux algorithmes (ou d'améliorer des algorithmes existants) pour l'étude d'équations différentielles linéaires. La première partie traite du problème de la factorisation d'opérateurs différentiels en caractéristique positive. Le "miracle" de la caractéristique p est que le problème peut se réduire à de l'algèbre linéaire. En exploitant ce fait, nous développons un algorithme de factorisation de systèmes différentiels. Nous donnons la complexité des différentes étapes de cet algorithme. Enfin, nous le généralisons au cadre de systèmes d'équations aux dérivées partielles. L'objet de la deuxième partie est de rendre plus efficace l'algorithme de Beke pour le calcul des solutions exponentielles d'équations différentielles linéaires. Cet algorithme possède deux inconvénients majeurs qui le rendent peu efficace : un problème combinatoire et un problème de corps. Nous montrons qu'en combinant des informations "géométriques" locales (les exposants généralisés) et des informations "arithmétiques" modulaires (les valeurs propres de la p-courbure), nous pouvons diminuer le nombre de combinaisons considérées habituellement par l'algorithme et réduire le degré des extensions algébriques du corps de base nécessaires au calcul des solutions exponentielles. Dans la troisième partie, nous démontrons qu'une démarche similaire s'applique pour le problème analogue dans le cas des équations aux différences. Finalement, dans la dernière partie, nous développons un algorithme entièrement modulaire calculant les solutions polynomiales d'équations différentielles linéaires en caractéristique zéro. Nous évaluons la pertinence des informations modulaires que l'on peut obtenir pour ce problème. Nous donnons et comparons les complexités de notre algorithme et des algorithmes existants. Puis, grâce à des comparaisons expérimentales, nous exhibons des classes d'équations pour lesquelles notre approche modulaire est mieux adaptée que les algorithmes existants. La plupart de nos algorithmes ont été implantés dans le logiciel de calcul formel Maple.