Solutions formelles d'équations aux dérivées partielles

Discipline

Mathématiques et Applications

Classification

Mathématiques,

Technologie (Sciences appliquées)

Mots-clés libres

algorithmes, algèbre, calcul formel, équations différentielles

Mots-clés

Calcul formelCalcul formel -- Thèses et écrits académiques,

équations aux dérivées partielles - Thèses et écrits académiques,

Algèbre différentielle - Thèses et écrits académiques,

Newton, Méthode de - Thèses et écrits académiques,

Développements asymptotiques - Thèses et écrits académiques,

Systèmes intégrables - Thèses et écrits académiques,

Pfaff, équations de - Thèses et écrits académiques

Dans ce travail, nous construisons des algorithmes de calcul de solutions formelles de systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP). La thèse se divise en deux parties. Dans une première partie, nous proposons une nouvelle méthode du type Newton pour le calcul en un point régulier des séries formelles solutions d'une famille de systèmes d'EDP non linéaires qui a été définie par F. Boulier et ses collaborateurs. Ces systèmes apparaissent dans les algorithmes d'élimination différentielle. Cette méthode de Newton est une alternative à la méthode par dérivation-évaluation de F. Boulier et ses collaborateurs. Nous faisons une première ébauche d'étude de complexité entre la méthode de Newton et la méthode par dérivation-evaluation en nous restreignant aux équations différentielles. Nous proposons de plus une version modulaire de la méthode de Newton dans le cas d'une équation différentielle du premier ordre, pour tenir compte de l'explosion des coefficients de la série à calculer. Dans une seconde partie, nous étudions les systèmes de Pfaff complètement intégrables à croisements normaux en l'origine. Tout d'abord, nous proposons deux méthodes de calcul des solutions à l'origine pour les systèmes de Pfaff dits de première espèce basées sur les travaux de R. Gérard et A.H.M. Levelt et T. Takano et M. Yoshida. Nous donnons de plus une nouvelle démonstration constructive du théorème de Gérard et Levelt sous une hypothèse de généricité qui permet de calculer les solutions d'un système de Pfaff de première espèce vérifiant cette hypothèse. Puis, nous étudions le problème de la réduction de rang d'un système de Pfaff de seconde espèce, problème lié étroitement au calcul de ses solutions. Nous rappelons d'abord deux algorithmes classiques de réduction de rang d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 : les algorithmes de Moser et de Levelt. Nous mettons alors en évidence la dualité entre les versions descendantes et ascendantes de l'algorithme de Levelt, propriété essentielle dans la suite de notre travail. Nous en profitons pour donner la complexité en opérations arithmétiques des algorithmes de Moser et de Levelt. La dualité nous permet de caractériser la régularité d'un système de Pfaff de seconde espèce en terme de stationnarité d'une suite décroissante de réseaux : ce critère est la version duale du critère de A. van den Essen. Grâce à cette caractérisation, nous obtenons un algorithme de réduction de rang des systèmes de Pfaff de seconde espèce dans le cas de deux variables, en adaptant la version descendante de l'algorithme de Levelt.