Méthodes algébriques pour la résolution d'équations différentielles matricielles d'ordre arbitraire

Discipline

Mathématiques et Applications

Classification

Mathématiques

Mots-clés libres

algorithmes, algèbre, équations différentielles

Mots-clés

Algèbre - Thèses et écrits académiques,

équations différentielles linéaires - Thèses et écrits académiques,

Algorithmes - Thèses et écrits académiques,

Polynômes matriciels - Thèses et écrits académiques

Dans cette thèse, nous développons de nouvelles méthodes algébriques pour la résolution d'une classe importante de systèmes d'équations différentielles linéaires d'ordre arbitraire. De tels systèmes apparaissent dans de nombreuses disciplines scientifiques comme la chimie, la physique, la mécanique et la théorie du contrôle. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'analyse locale des systèmes d'équations différentielles linéaires ordinaires au voisinage d'une singularité. Nous développons des algorithmes pour le calcul des solutions régulières formelles. Ces algorithmes sont directs, c'est-à-dire, ne transforment pas le système en un autre du premier ordre et de taille plus grande. Nos approches sont fondées sur l'utilisation des propriétés des matrices polynomiales dont le déterminant joue le même rôle que les polynômes indiciels dans le cas scalaire. Puis, nous nous intéressons à l'étude des formes dites k-simples d'un système différentiel linéaire explicite du premier ordre. Ces formes donnent des informations sur les pentes entières du polygone de Newton du système et permettent de calculer les solutions formelles sans ramification. Notre contribution se reflète par le développement d'une méthode directe pour le calcul des formes k-simples. Dans un second temps, nous étudions les systèmes d'équations algébro-différentielles linéaires. De tels systèmes sont composés d'équations différentielles ordinaires couplées à des équations purement algébriques. Nous proposons des algorithmes pour les découpler en une partie purement différentielle et une autre purement algébrique. Une autre contribution de la thèse est l'étude de la complexité et l'implémentation en Maple de nos divers algorithmes mis en oeuvre.