Etude des énumérateurs des poids des codes linéaires utilisant des formes décomposées des matrices génératrices

Discipline

Mathématiques et Applications

Classification

Mathématiques,

Technologie (Sciences appliquées)

Mots-clés libres

codes et codage, codes correcteurs d'erreurs

Cette thèse est dédiée à l'étude des codes linéaires binaires cycliques ou auto-duaux, en utilisant la décomposition de leurs matrices génératrices. Cela nous amène à l'obtention des mots de petit poids voire au calcul exact des polynômes énumérateurs. Afin de simplifer la matrice génératrice, nous passons de l'ordre cyclique à l'ordre standard des bits. Cela nous permet de mettre en forme carrée modifée récursive tous les codes affines-invariants et de donner de nouvelles bornes supérieures pour les distances duales des codes BCH binaires de longueur 512. Par la suite, nous montrons que tout code cyclique binaire à racines multiples est équivalent à une construction carrée. En particulier tous les codes cycliques auto-duaux (c.a.d. ) dont toutes les racines ont une multiplicité paire sont des sommes directes. Notre étude aboutit à l'énumération et au calcul des polynômes énumérateurs de tous les codes c.a.d. de longueur n ≤ 120 . Enfin, nous étudions certains codes auto-duaux, dont les plus connus sont les codes résidus quadratiques. En utilisant un algorithme de calcul du nombre des mots de petit poids et la théorie des invariants, nous avons obtenu les énumérateurs des poids de tous les codes duadiques de longueur n ≤ 152 , à une exception près.